经典逻辑中的量词否定
一阶逻辑以全称量词 (\forall) 表示“对所有对象”，以存在量词 (\exists) 表示“至少有一个对象”。否定量化命题时，量词要互换，而且否定必须进入谓词的作用域。在经典逻辑中：
[ \neg\exists x,P(x);\equiv;\forall x,\neg P(x) ]
[ \neg\forall x,P(x);\equiv;\exists x,\neg P(x) ]
第一式说“不存在满足 (P) 的对象”等价于“每个对象都不满足 (P)”；第二式说“并非每个对象都满足 (P)”等价于“至少有一个对象不满足 (P)”。
因此，(\neg\forall x,P(x)) 不能简写成 (\exists x,P(x))。例如，“并非所有学生都及格”意味着“至少有一名学生没有及格”，而不是“至少有一名学生及格”。同样，横线或否定号究竟覆盖量词、谓词还是整个公式，会改变命题的意义，不能只凭图形相似替换。
这些双重性在经典一阶逻辑中成立；在直觉主义逻辑等非经典体系里，某些从否定全称命题推出一个明确反例的方向并不普遍有效，使用时应先说明逻辑系统。
《研讨班 XV》闭门研讨里被称作“第三种否定”的 il n’y a pas de X sans Y，在标准经典逻辑中仍可写成 (\neg\exists x(X(x)\land\neg Y(x)))，并等价于 (\forall x(X(x)\rightarrow Y(x)))。因此，“第三种”是雅克·纳西夫报告中对拉康式结构关系的理论命名，不表示经典量词逻辑真的新增了第三个否定算子或第三个真值。类似地，具体问题尚无证明，也不自动等于它在某个形式系统中不可判定。
来源
- Quantifiers and Quantification（英文；《斯坦福哲学百科》）
- Calypso Module 14: Logic（英文；卡内基梅隆大学量词与否定教材）
- 《研讨班 XV》第十一课 s15-11-0044、s15-11-0085—s15-11-0086（法文；标明雅克·纳西夫报告及其“第三种否定”表述）
关联
非全与量词否定的区别 阿普列乌斯、命题数量与逻辑方阵 Pas sans：并非没有与“第三种否定” 奇完全数问题与“不可判定”的区别 弗雷格《概念文字》：函数、论元与量化
s15-11-0044 s15-11-0085 s15-11-0086 s19-01-0074 s19-03-0128 s19b-05-0218 s19b-05-0301