集合划分、二分与补集对
集合 (S) 的划分，是一族两两不相交的非空子集，它们的并集恰好是 (S)。每一个子集称为一个“块”。一个 (n) 元集合的全部划分数由贝尔数 (B_n) 给出；例如五元集合共有 (B_5=52) 种划分，而不是 (2^{5-1}=16) 种。
如果限定为恰好两个非空块，计数由第二类斯特林数给出：
[ S(n,2)=2^{n-1}-1. ]
推导方式是：每个子集 (A\subseteq S) 决定一对互补块 ({A,S\setminus A})；(A) 与补集给出同一个无序二分，所以 (2^n) 个子集先除以 2，得到 (2^{n-1}) 对。再排除 ({\varnothing,S}) 这一对，才得到两个块都非空的 (2^{n-1}-1)。
因此，(2^{n-1}) 计数的是“子集与其补集构成的无序对”，并且把空集与全集这一退化情形也算在内；它不是一般意义上的全部集合划分数。若说“划分”而允许任意多个非空块，应使用贝尔数；若说“二分”，还需说明是否允许空块以及两块是否区分顺序。
对无限基数 (\kappa)，整数式的“减一”不能被用来制造一个更小的无限基数：在通常的基数算术中 (\kappa-1=\kappa)，补集配对的总数仍与 (2^\kappa) 同势。因而 (2^{\aleph_0-1}) 不是介于 (\aleph_0) 与 (2^{\aleph_0}) 之间的新基数。
来源
- Set Partition（英文；Wolfram MathWorld）
- DLMF §26.7: Set Partitions—Bell Numbers（英文；美国国家标准与技术研究院）
- DLMF §26.8: Set Partitions—Stirling Numbers（英文；美国国家标准与技术研究院）