0.999…为什么等于1
(0.999\ldots) 是无限循环小数，不是无限不循环小数。在通常的实数体系中，它表示有限小数序列
[ 0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ldots ]
的极限，也就是几何级数
[ \frac9{10}+\frac9{10^2}+\frac9{10^3}+\cdots =\frac{9/10}{1-1/10}=1. ]
代数写法也得到同一结果。令 (x=0.999\ldots)，则 (10x=9.999\ldots)；相减得到 (9x=9)，所以 (x=1)。这个运算成立的前提，是省略号表示已经由极限定义的循环小数，而不是某个尚未完成的有限书写过程。
每个有限截断 (0.9,0.99,\ldots) 都小于 1，但这些截断的极限就是 1。因此，(0.999\ldots) 与 1 是同一实数的两种十进制表示，两者之间不存在正的实数差，也不存在另一个实数。若在非标准分析中另行定义“超有限个 9”的数，可以讨论与 1 相差无穷小的超实数；那不是通常实数记号 (0.999\ldots) 的含义。
来源
- Does 0.999… Really Equal 1?（英文；实数、极限与阿基米德性质的数学教育研究）
- When is 0.999… equal to 1?（英文；标准与非标准数系中的记号分析）
- The Field Q and the Equality 0.999… = 1（英文；循环小数及其历史研究）