克莱因瓶的拓扑性质
克莱因瓶是一个紧致、无边界、不可定向的二维曲面。它可以由一个正方形通过两对边的特定粘合得到：一对边同向粘合，另一对边反向粘合。所谓“只有一面”是直观说法；严格地说，它不存在能够在全曲面连续保持的法向方向，因此无法全局区分内外或正反两侧。
常见的玻璃“瓶子”模型让瓶颈穿过瓶身再与底部连接。这个模型在三维空间中必然自相交；交叉处不是抽象克莱因瓶本身真正相交的点，而是把它浸入三维空间时产生的视觉代价。克莱因瓶可以无自交地嵌入四维欧氏空间。
它与莫比乌斯带有关，但并不相同。莫比乌斯带有一条边界，克莱因瓶没有边界；把两个莫比乌斯带沿各自边界粘合，可以得到克莱因瓶。玻璃模型的“接缝”或瓶颈回穿位置依赖具体呈现方式，不是抽象曲面上唯一、固定而特殊的一条天然线。
《研讨班 XIII》第三课明确从“两条莫比乌斯带缝合而成”引入克莱因瓶，但也警告不能靠简单相加推出它的性质。拉康随后用这一曲面图示语言、言说与真理进入以后，主体同大他者场所之间的非对称结合。前一项是可由拓扑学检验的构造；后一项是拉康借该构造表达主体关系的理论用途，不是克莱因瓶自身蕴含的心理学结论。
来源
- Klein surface（英文；《数学百科全书》）
- Klein bottle（英文；Wolfram MathWorld）
- 《研讨班 XIII》第三课 s13-03-0176（法文；两条莫比乌斯带的缝合与简单相加的限度）
- 《研讨班 XIII》第三课 s13-03-0198—s13-03-0199（法文；语言、真理、主体与大他者的非对称结合）
关联
安托万·蒂达尔《二千年的巴黎》与“男人与世界之间的墙” 拓扑学、度量与同胚 克莱因四元群：对合运算与第十四期的逻辑借用 莫比乌斯带：不可定向、单一边界与拉康的拓扑借用