真理在0与1之间:连续统、非全与剩余
更准确地说:
- 自然数
{1, 2, 3, ...}的数量叫 可数无限,记作ℵ₀。 - 区间
(0,1)里的所有实数的数量叫 不可数无限,也叫连续统基数,记作𝔠。 - 结论是:
\[ \lvert(0,1)\rvert = \mathfrak{c} > \aleph_0 = \lvert\mathbb{N}\rvert \]
也就是说,虽然 (0,1) 看起来只是很小一段,但里面的实数数量比所有自然数还要多。
关键点是:
(0,1)里的有理数和自然数一样多,是可数的。- 但
(0,1)里的实数包含所有无理数,所以不可数。
康托尔的对角线证明说明:
你不可能把 (0,1) 里的所有实数排成一个自然数列表。无论你怎么列,总能构造出一个不在列表里的新实数。
真理只能在大于0到小于1之间。
数学上这并不意味着“真理很少”。恰恰相反,0 和 1 之间已经有一个比自然数更大的无限。
与“真理不整体呈现”的对应
这个用 0 与 1 之间的实数来指代 拉康这里提到的“真理不会把自身整体呈现出来”还挺贴切的。
它把不可数性、非全性以及一种无法被穷尽的剩余放在同一个数学图像里。
(0,1) 本身不包含任何自然数或整数,却已经与整个实数连续统同势。也就是说,它完全被自然数集合、整数集合排除在外,同时又不是实数集合中一个边缘的、可有可无的部分;相反,它直接显出实数连续统的结构。
即使先把 (0,1) 其中可数的有理数全部拿掉,剩下的仍然是不可数的。这个剩余无法被自然数列表穷尽,也无法作为一个“整体”一次性呈现出来。
这个集合完全被“自然数集合”,“整数”排除在外,与此同时同时又是构成“实数集合”重要的一部分