根号2的不可通约与《泰阿泰德篇》

正方形边长为 1 时，对角线长为 (\sqrt2)。所谓边与对角线“不可通约”，是说不存在一个长度单位，使两者都能表示成这个单位的整数倍；用现代语言说，就是 (\sqrt2) 不是有理数。

一个经典证明是假设 (\sqrt2=p/q)，其中 (p,q) 是互素正整数。由 (p^2=2q^2) 可知 (p) 为偶数；令 (p=2r)，又得到 (q^2=2r^2)，所以 (q) 也是偶数。这与 (p,q) 互素矛盾。

古希腊不可通约量的发现常与毕达哥拉斯学派、尤其希帕索斯联系起来，但现存证据很晚，具体发现者和最早证明方式并不确定。柏拉图《泰阿泰德篇》147d–148b 确实是最早的重要文本之一，却没有叙述 (\sqrt2) 的首次发现。对话中，泰阿泰德回忆的是西奥多罗斯逐一证明 (\sqrt3,\sqrt5) 等非平方整数的平方根不可通约，一直讲到 (\sqrt{17})；随后泰阿泰德和年轻的苏格拉底试图把这些量归入一个统一类别。