戴德金无限与伽利略悖论

伽利略在 1638 年《关于两门新科学的谈话》中比较正整数与完全平方数。平方数只是正整数的真子集，但映射

[ n\longmapsto n^2 ]

把每个正整数对应到唯一的平方数；反过来，每个平方数也有唯一的正整数平方根。因此，两者可以建立一一对应。这个结果与有限集合中“整体大于真部分”的原则冲突，后世称为“伽利略悖论”或“无限悖论”。

戴德金在 1888 年《数是什么并且数应当是什么？》中把这种性质提升为定义：若一个集合与它的某一个真子集之间存在双射，该集合就是“戴德金无限”的。关键是“某一个”，不是“任意一个”。自然数集与偶数集、平方数集等真子集等势，却不可能与一个只有三个元素的真子集等势。

在通常采用选择公理的集合论中，戴德金无限与一般所说的无限集合等价；在不含选择公理的 ZF 集合论中，可能存在无限但戴德金有限的集合。因此，这一判据非常重要，却不是在所有公理背景下都与其他无限定义自动等价。

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